Análisis de Velocidades

En esta entrega presentaremos un análisis, previo a construir (y por lo tanto, probar experimentalmente) la embarcación. Primero encontraremos la fuerza que le entrega el chorro al barco a través de la placa y la fuerza de roce que se genera por la viscosidad del agua, y luego encontraremos la aceleración y velocidad que adquiere el barco, para terminar con encontrar el tiempo que se demoraría en recorrer la piscina de 5 metros. Como no conocemos algunas propiedades del barco (por ejemplo la masa y el coeficiente de arrastre), varias cosas quedarán como incógnitas que luego con la experimentación reemplazaremos para obtener valores numéricos.

Fuerza del Chorro

Como vimos en la entrada anterior, la fuerza que el chorro aplica sobre la placa es:

El área la calculamos de la siguiente forma, ya que tenemos el diámetro del chorro:Con lo que obtenemos A = 4.908739 * 10^(-4) m^2

Entonces necesitamos encontrar la velocidad. Para encontrar la velocidad, dado que el agua es un fluido incompresible y estamos asumiento régimen permanente, podemos usar la ecuación de Bernoulli en una línea de corriente. Si tomamos una línea de corriente que pase por los puntos:

(1) : Un punto en la parte superior del estanque (abierto a la atmósfera).
(2) : Un punto justo a la salida a la atmósfera, donde se vé expulsado el chorro.

Y suponemos que el estanque es de grandes dimensiones, podemos despreciar la velocidad del punto (1) frente a la del punto (2) y obtenemos lo siguiente:

Con esta ecuación, sabiendo que la dferencia de alturas es de 1.5 metros (el estanque mide 2 metros, y el chorro va a salir a 50 cm del suelo), obtenemos la velocidad de salida del chorro:

v = 5.42 m/s

Con estos datos somos ya capaces de encontrar (o más bien, estimar) la fuerza que ejerce el chorro sobre la placa:

F = 25.95619446 N

Tiempo de Recorrido

Para encontrar el tiempo que se demorará el barco en recorrer los 5 metros de la piscina, volvemos a una antigua ecuación de cinemática:Como posicionamos el 0 del eje x en el inicio de la piscina y el barco parte sin velocidad, podemos fácilmente despejar el tiempo en función de la aceleración y de la distancia que queremos recorrer. Como la aceleración la podemos escribir como la sumatoria de fuerzas dividida por la masa del barco, suponiendo que las únicas dos fuerzas que actúen sobre el barco serán la fuerza del chorro y la fuerza de roce, obtenemos:

Y nos surge el primer obstáculo: La fuerza de roce.

Luego de revisar esta entrada, nos dimos cuenta de que este análisis cinemático no nos va a servir, porque este análisis considera la aceleración como una constante, mientras que en nuestro caso la aceleración es variable en el tiempo. En lugar de esto, obtenemos la distancia como la integral de la velocidad, y de esa ecuación podemos despejar el tiempo en función de la distancia. De todas maneras necesitamos obtener la fuerza de roce.

Fuerza de Roce

Investigando en Internet (http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics) nos dimos cuenta que hay dos ecuaciones para la fuerza de roce que ejerce un fluido en movimiento sobre un objeto. Para determinar cuál teníamos que ocupar, teníamos que calcular el número de Reynolds de nuestro sistema.donde V es la velocidad del fluido, v es la viscosidad dinámica del fluido y L es la distancia que recorre el fluido en contacto con el objeto. Reemplazando los valores estimados de nuestro sistema nos dimos cuenta que el número de Reynolds es mucho mayor a 1000, que es lo que se necesita para aplicar la fórmula que conocemos para la fuerza de roce. Luego, la ecuación que usamos es:Para resolver lo que queremos necesitamos encontrar la velocidad. Antes de seguir con este análisis nos damos cuenta que la fuerza del chorro no va a ser constante durante el movimiento del barco. Sin embargo, nos dijeron que podíamos asumirla como constante por un intervalo limitado de tiempo, por ejemplo 5 segundos. Para el análisis que sigue, consideramos que el chorro va a estar impactando la placa con la misma intensidad por t0 segundos. Probablemente luego lo reemplazemos por un valor similar a 5, pero no quisimos perder ese nivel de abstracción en las fórmulas que usaremos. Luego de esos t0 segundos, consideramos que el chorro para de impactar la placa por lo que la única fuerza actuando de ahí en adelante es la fuerza de roce.

Considerando todo eso, la aceleración está dada por:

Y reemplazando la expresión que tenemos para la fuerza de roce obtenemos las siguientes ecuaciones para la aceleración del barco. Luego considerando que la aceleración es la derivada temporal de la velocidad (notamos que usamos el enfoque de Lagrange para esto), obtenemos las siguientes ecuaciones diferenciales para la velocidad:

En la próxima entrada del blog vamos a resolver estas ecuaciones, luego encontrar la aceleración de la embarcación en función del tiempo, y finalmente encontrar el tiempo que se demorará el barco en recorrer los 5 metros de la piscina.