Estimación del Tiempo

En esta entrada publicaremos nuestra estimación del tiempo que se demorará el barco en cruzar la piscina de 5 metros, y qué arreglos hicimos desde nuestro último análisis para llegar a este resultado.

En la última entrega tomamos una masa estimada (ya que el barco no estaba terminado), un coeficiente estimado, y el tiempo de impacto del chorro estimado. Durante esta semana fuimos al laboratorio de Mecánica de Fluidos y tomamos datos para medir estos valores empíricamente. La masa del barco nos dio 2.8kg, el coeficiente (consideramos para nuestro coeficiente C = A*Cd, para no proecuparnos por el área del barco) nos dio 0.0142, y el tiempo de impacto del chorro observamos que era aproximadamente 2 segundos. Dado estos valores obtuvimos los siguientes resultados, usando el mismo procedimiento que en la entrega pasada:

Primero calculamos de nuevo la fuerza promedio del chorro para reflejar el tiempo de impacto:




Obteniendo una fuerza promedio del chorro de 25.55 Newtons.

Luego con esa fuerza, la masa, el coeficiente, y el tiempo de impacto del chorro, graficamos la distancia recorrida en función del tiempo y encontramos el tiempo para recorrer 5 metros.



Y por lo tanto un tiempo final de 10.64 segundos.

Es decir, nosotros estimamos que dadas las condiciones del barco, éste se demorará 10.64 segundos en cruzar la piscina de 5 metros.

Análisis para diferentes valores de coeficientes

En la entrada anterior estimamos el coeficiente de arrastre y el área que aparecen en la fuerza de roce. En esta entrada hacemos un pequeño análisis variando nuestras estimaciones para ver cuantitativamente cuánto afecta este coeficiente (usaremos A*C como nuestro coeficiente empírico) al gráfico de distancia recorrida y consecuentemente al tiempo que se demoraría el barco en recorrer los 5 metros que debe recorrer.

Primero hicimos el análisis aumentando este coeficiente en 10%, obtuvimos lo siguiente:


Obteniendo un tiempo de: 4.10 segundos.

Luego aumentamos el coeficiente en 50% por sobre el original:


Obteniendo un tiempo de: 4.77 segundos.

Procedimos a aumentar el coeficiente al doble del original:


Obteniendo un tiempo de: 41.60 segundos.

Procedimos a aumentar el coeficiente a 2.5 veces original:



Obteniendo un tiempo de: 543,762.30 segundos.

Después disminuimos el coeficiente a 90% del original:


Obteniendo un tiempo de: 3.72 segundos.

Después disminuimos el coeficiente a 50% del original:



Obteniendo un tiempo de: 2.82 segundos.

Después disminuimos el coeficiente a 25% del original:



Obteniendo un tiempo de: 2.07 segundos.

Conclusiones

Notamos que las mayores variaciones se dan cuando el coeficiente es tal que el barco llega a los 5 metros cuando el chorro ya no lo está impactando. Es decir, cuando el chorro para de impactar al barco antes de que el barco llegue a su destino, variaciones de este coeficiente son mucho más importantes. Cuando estamos en la primera 'sección' de las velocidades, los tiempos no cambian con tanta magnitud. ¿Por qué se da esto? Pues porque al principio la velocidad es bastante buena, cercana a 1 m/s (insistimos en que esto es un análisis teórico y no hemos hecho procedimiento experimental, esto probablemente es muy alto), entonces una disminución de ésta todavía es chica. Cuando el chorro para de impactar al barco la velocidad se hace mucho más pequeña, y cualquier variación a ésta tiene un mayor impacto en el tiempo que demora al barco.

Es decir, dado que la pendiente de la distancia en función del tiempo es bastante menor una vez que el chorro para de impactar al barco, una variación (aún una pequeña) de esta pendiente resulta en una gran variación del tiempo para llegar a una cierta distancia. También notamos que si aumentábamos el coeficiente al triple del original el barco prácticamente no llegaba a su destino, demorándose un tiempo extremadamente grande - Maple no lo quizo resolver.

Análisis y Soluciones Teóricas

En esta entrega veremos un análisis simplificado para intentar acercarnos a la realidad y estimar teóricamente las funciones que nos interesan - específicamente la velocidad, la distancia y finalmente el tiempo en recorrer los 5 metros de la piscina. A continuación se presenta un archivo Maple (en fotos, porque no se puede subir el archivo) que muestra el análisis que hicimos para llegar a nuestro resultado final.

Como nota, en la entrada pasada pusimos un valor estimado para la Fuerza que después pensamos que deberíamos estimarlo mejor. Por lo tanto, hicimos un pequeño análisis sobre el estanque y la velocidad del chorro, para finalmente obtener una fuerza promedio para usar esa. Anteriormente simplemente habíamos considerado la velocidad del chorro como constante, pero notamos que la verdad es que no es así, y pensamos que podría haber tenido un impacto significativo en los resultados. Finalmente nos dimos cuenta que la fuerza no cambió mucho, pero de todas formas creemos que es un paso hacia adelante para hacer más real el análisis.

Los pasos que seguimos fueron:

1. Estimamos la altura del estanque y velocidad del chorro en función del tiempo, considerando el vaciado del estanque.
2. Calculamos el promedio de la fuerza en un intervalo de tiempo, para considerar en los próximos pasos que la fuerza es constante con ese valor por ese intervalo de tiempo (si no se complicaban enormemente las funciones de velocidad del barco).
3. Estimamos las funciones de velocidad del barco: la primera representa la velocidad mientras el chorro impacta al barco, la segunda representa la velocidad una vez que el chorro paró de impactar al barco.
4. Finalmente juntamos esas dos velocidades estimadas, obtenemos la distancia recorrida como la integral de la velocidad, y por último calculamos el tiempo que se demoraría en recorrer 5 metros.

Notamos que el tiempo nos dio notablemente pequeño, y vamos a hacer modificaciones a los valores que tenemos una vez que vayamos al laboratorio de Fluidos y podamos hacer pruebas para encontrar los coeficientes que estimamos al ojo en esta entrada. Notablemente: la masa, el coeficiente de roce, el área de impacto del agua, la fuerza de roce y el impacto que tiene el hecho de que el chorro no impacta constantemente al barco con la misma intensidad.

El análisis:

Análisis de Velocidades

En esta entrega presentaremos un análisis, previo a construir (y por lo tanto, probar experimentalmente) la embarcación. Primero encontraremos la fuerza que le entrega el chorro al barco a través de la placa y la fuerza de roce que se genera por la viscosidad del agua, y luego encontraremos la aceleración y velocidad que adquiere el barco, para terminar con encontrar el tiempo que se demoraría en recorrer la piscina de 5 metros. Como no conocemos algunas propiedades del barco (por ejemplo la masa y el coeficiente de arrastre), varias cosas quedarán como incógnitas que luego con la experimentación reemplazaremos para obtener valores numéricos.

Fuerza del Chorro

Como vimos en la entrada anterior, la fuerza que el chorro aplica sobre la placa es:

El área la calculamos de la siguiente forma, ya que tenemos el diámetro del chorro:Con lo que obtenemos A = 4.908739 * 10^(-4) m^2

Entonces necesitamos encontrar la velocidad. Para encontrar la velocidad, dado que el agua es un fluido incompresible y estamos asumiento régimen permanente, podemos usar la ecuación de Bernoulli en una línea de corriente. Si tomamos una línea de corriente que pase por los puntos:

(1) : Un punto en la parte superior del estanque (abierto a la atmósfera).
(2) : Un punto justo a la salida a la atmósfera, donde se vé expulsado el chorro.

Y suponemos que el estanque es de grandes dimensiones, podemos despreciar la velocidad del punto (1) frente a la del punto (2) y obtenemos lo siguiente:

Con esta ecuación, sabiendo que la dferencia de alturas es de 1.5 metros (el estanque mide 2 metros, y el chorro va a salir a 50 cm del suelo), obtenemos la velocidad de salida del chorro:

v = 5.42 m/s

Con estos datos somos ya capaces de encontrar (o más bien, estimar) la fuerza que ejerce el chorro sobre la placa:

F = 25.95619446 N

Tiempo de Recorrido

Para encontrar el tiempo que se demorará el barco en recorrer los 5 metros de la piscina, volvemos a una antigua ecuación de cinemática:Como posicionamos el 0 del eje x en el inicio de la piscina y el barco parte sin velocidad, podemos fácilmente despejar el tiempo en función de la aceleración y de la distancia que queremos recorrer. Como la aceleración la podemos escribir como la sumatoria de fuerzas dividida por la masa del barco, suponiendo que las únicas dos fuerzas que actúen sobre el barco serán la fuerza del chorro y la fuerza de roce, obtenemos:

Y nos surge el primer obstáculo: La fuerza de roce.

Luego de revisar esta entrada, nos dimos cuenta de que este análisis cinemático no nos va a servir, porque este análisis considera la aceleración como una constante, mientras que en nuestro caso la aceleración es variable en el tiempo. En lugar de esto, obtenemos la distancia como la integral de la velocidad, y de esa ecuación podemos despejar el tiempo en función de la distancia. De todas maneras necesitamos obtener la fuerza de roce.

Fuerza de Roce

Investigando en Internet (http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics) nos dimos cuenta que hay dos ecuaciones para la fuerza de roce que ejerce un fluido en movimiento sobre un objeto. Para determinar cuál teníamos que ocupar, teníamos que calcular el número de Reynolds de nuestro sistema.donde V es la velocidad del fluido, v es la viscosidad dinámica del fluido y L es la distancia que recorre el fluido en contacto con el objeto. Reemplazando los valores estimados de nuestro sistema nos dimos cuenta que el número de Reynolds es mucho mayor a 1000, que es lo que se necesita para aplicar la fórmula que conocemos para la fuerza de roce. Luego, la ecuación que usamos es:Para resolver lo que queremos necesitamos encontrar la velocidad. Antes de seguir con este análisis nos damos cuenta que la fuerza del chorro no va a ser constante durante el movimiento del barco. Sin embargo, nos dijeron que podíamos asumirla como constante por un intervalo limitado de tiempo, por ejemplo 5 segundos. Para el análisis que sigue, consideramos que el chorro va a estar impactando la placa con la misma intensidad por t0 segundos. Probablemente luego lo reemplazemos por un valor similar a 5, pero no quisimos perder ese nivel de abstracción en las fórmulas que usaremos. Luego de esos t0 segundos, consideramos que el chorro para de impactar la placa por lo que la única fuerza actuando de ahí en adelante es la fuerza de roce.

Considerando todo eso, la aceleración está dada por:

Y reemplazando la expresión que tenemos para la fuerza de roce obtenemos las siguientes ecuaciones para la aceleración del barco. Luego considerando que la aceleración es la derivada temporal de la velocidad (notamos que usamos el enfoque de Lagrange para esto), obtenemos las siguientes ecuaciones diferenciales para la velocidad:

En la próxima entrada del blog vamos a resolver estas ecuaciones, luego encontrar la aceleración de la embarcación en función del tiempo, y finalmente encontrar el tiempo que se demorará el barco en recorrer los 5 metros de la piscina.

Análisis de la Placa

Análisis de superficie de placa

Tenemos que para la superficie de la placa que recibirá el chorro, hay diversas superficies con mayor o menor aprovechamiento de la cantidad de movimiento entregada por este último. Luego es necesario un análisis vectorial de cantidad de movimiento para determinar una superficie óptima para nuestro barco.

Tenemos que el flujo será en la dirección horizontal, y si asumimos un medio donde se conserva la cantidad de movimiento tenemos:

Donde por conservación tenemos que MV1 = mV3-MV2, de donde se desprende que:

mV3 = M(V1+V2)

Luego la cantidad de momento transferida en el eje horizontal va a ser proporcional a la velocidad con la que se devuelve el cuerpo M en dirección -x (tomando como X el eje horizontal).

Además basándonos en la ecuación de cantidad de movimiento en condiciones de régimen permanente visto en clases tenemos:

Luego tenemos que la superficie óptima corresponde a una semi-esfera dado que en ésta la mayor parte del chorro se devuelve (en dirección -x).