Grupo 3: Entrega 1

Buenas tardes, les presentamos la Entrega 1 del proyecto.

En esta entrega les presentaremos:

Decisión de la forma del barco.
Material que usaremos para construirlo.
Dimensiones obtenidas en nuestro análisis.
Análisis de Estabilidad para el barco.

1. Decisión de la forma del barco.

(i) Análisis Preliminar

Primero pensamos que era lógico que el barco enfrentara el agua por delante con la menor superficie posible, para que sea lo más hidrodinámico. Entonces claramente no podíamos tener un cubo como barco, sino que por lo menos tenía que tener una especie de "punta" en la parte de adelante, lo que nos llevó a pensar en formas triangulares para la sección delantera del barco.

Nuestra segunda interrogante, un poco más compleja, fue: ¿por qué el casco de los barcos tiene una forma de pirámide invertida en lugar de ser una figura constante como una especie de cilindro? Es decir, ¿por qué la sección perpendicular al agua terminaba con una especie de triángulo y no con un rectángulo? Para responder a esta pregunta hicimos un análisis de estabilidad con dos simples figuras: un triángulo y un rectángulo.

Para esto nos dimos las siguientes restricciones: los volúmenes tienen que ser iguales, y los volúmenes de carena también tienen que ser iguales. Claramente para separar este análisis de condiciones externas, el área de contacto con la superficie libre es la misma en ambos casos - es decir, si los lados del rectángulo son el ancho y profundidad del barco, la sección que corresponde a la longitud debía ser igual para ambas figuras (resulta obvio ver que esto es el término de Io). Para esto simplemente asumimos una estructura prismática con longitud = 2 cm, por lo que Io es la inercia de un rectángulo. Primero analizamos el rectángulo, nos dimos un cuadrado de 4 cm de lado y vimos lo siguiente:

Como se puede apreciar el volúmen sumergido es de 8 cm^3 y el volumen total 16. cm^3 La distancia entre el centro de carena y el centro de gravedad es 1 cm. Como podemos ver, independientemente de cuánto se hunda el cubo, la superficie en la línea de flotación permanece constante e igual a 4 cm, por lo que el momento de inercia no cambia.

Para el triángulo tenemos lo siguiente, con las restricciones antes descritas:

Como podemos ver para el mismo volúmen de carena la superfcie en la línea de flotación aumenta, y como se tiene que el momento de inercia de un rectángulo es proporcional al cubo del ancho, este aumenta considerablemente en comparación al del cubo, haciendo de esta configuración mucho más estable. Recordemos que la relación de equilibrio estable es la siguiente:

(CC)(CG) < Io / Vc

Si se aumenta la carga y aumenta el volumen de carena, en el triangulo aumentaría aún más la superficie en la línea de flotación, y por ende su momento de inercia será mayor. Esto no ocurre con el cubo ya que la superficie en la línea de flotación se mantiene constante.

Finalmente cabe destacar que también se observó que hubo un leve aumento en la distancia entre el centro de carena y el centro de gravedad, pero al ser el momento de inercia proporcional al cubo del ancho de la superficie, esta variación es despreciable en contraste con del aumento del momento de inercia.

Luego basándonos en lo anterior, nos decidiremos por un modelo con un casco de sección triagular, y descartaremos la idea de tener un modelo con sección pseudorectacgular.

(ii) Forma del barco

Decidimos, finalmente, hacer el barco con la siguiente forma:

Cubierta con forma rectangular prismática.
Bajo la cubierta, una pirámide rectangular invertida.
El frente del barco será otra piramide rectangular.

La cubierta determinamos que fuera rectangular prismática para obtener una buena estabilidad con la botella encima y poder fácilmente montar la placa que servirá luego para impulsar el barco.

2. Material que usaremos para construirlo.

Decidimos después de mirar varios materiales diferentes que el mejor en térmicos económicos, hidrodinámicos, y de simple manejo es para nosotros la madera de balsa cuya densidad es de 0.13 gr/cm^3 y vamos a ocupar un espesor de 0.5 cm para lograr una embarcación sólida.

3. Dimensiones obtenidas en nuestro análisis.

Para hacer que la botella quede 5 cm arriba de la linea de flotación lo que vamos a hacer es restringir que la parte rectangular de nuestra embarcación quede completamente sobre el agua, es decir, la altura del triángulo debe valer 5 cm, y la parte hundida será sólo la triangular.

Tomamos medidas que creemos son eficientes en hacerlo pequeño y ademas estable. Estas son:

B=14, H=10, T = 9.

Entonces sólo 'a' nos queda como incógnita, usando la ecuación Empuje = Peso y Maple, obtenemos:

a = 11.72 cm

Con eso obtenemos todas las medidas del barco.

4. Análisis de Estabilidad para el barco.

Ahora para el análisis de estabilidad, usamos la siguiente estimación de superficie:

Luego, procedimos de la siguiente forma: Primero encontramos los momentos de inercia para ambas figuras, el rectángulo y el triángulo isósceles, con respecto a sus propios centros de gravedad y luego con el teorema de Steiner las trasladamos al centro de gravedad de la superficie total. Esto está desarrollado y explicado en Maple, pero luego descubrimos que no se puede (o por lo menos, nosotros no entendimos cómo) subir documentos arbitrarios, así que tuvimos que optar por la rústica vía de pantallazos de Maple. A continuación va el análisis de estabilidad y los resultados: